Правила квадратных уравнений

Квадра́тное уравне́ние — общего вида где — свободная переменная —причём Выражение называют квадратным трёхчленом. Корень — это значение переменнойобращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное равенство. Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия : называют первым или старшим коэффициентом, называют вторым, средним или коэффициентом приназывают свободным членом. Правила квадратных уравнений называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент : Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты правила квадратных уравнений отличны от нуля. Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего либо второй коэффициент, либо свободный членравен нулю. Если вы имеете возможность дополнить его значимой информацией либо снабдить необходимыми иллюстрациями или другими мультимедиа, пожалуйста, сделайте это. Этим вы поспособствуете развитию статьи. Древний Вавилон Уже во втором тысячелетии до вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы правила квадратных уравнений как полных, так и правила квадратных уравнений квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись: Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены. Индия Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному около 598 г. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным. Корни квадратного уравнения на множестве I способ. Общая формула правила квадратных уравнений вычисления корней Для нахождения корней квадратного правила квадратных уравнений в общем случае правила квадратных уравнений пользоваться приводимым ниже алгоритмом: Вычислить значение квадратного уравнения: таковым для него называется выражение. Условие Число действительных корней корней два корень один в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях — его. Формула формулу комплексных корней смотрите ниже в соотв. Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный. К решению одного уравнения можно подойти различными способами, предпочтения обычно зависят от самого решающего. Кроме того, часто для этого некоторый из способов оказывается значительно более элегантным, простым, менее трудоёмким, чем правила квадратных уравнений. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b Для уравнений видато есть при чётномгде правила квадратных уравнений формулы 1 для нахождения корней можно использовать более простые выражения. Решение неполных квадратных уравнений К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации. Использование частных соотношений коэффициентов Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще. Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту Если в правила квадратных уравнений уравнении сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту:то его корнями являются и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня в том числе, два совпадающих :. Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентова значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, еслито уравнение имеет два корня, если жето оно имеет только один корень. В частности, еслито корень будет один: Способ 2. Геометрическая интерпретация: парабола, заданная аналитически указанной формулой, пересекает ось x в двух точках, абсциссами которых и являются корни, хотя бы один из которых равен правила квадратных уравнений Используем геометрическую модель правила квадратных уравнений квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой. Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: если или если верно неравенство противоположного смысла. Используя тождествовыражающее правила квадратных уравнений смысл модуля, а также принимая, что это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен:поэтому -1 - корень такого уравненияприходим к следующему равенству: Если учитывать, правила квадратных уравнений разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем - отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о правила квадратных уравненийраскрываем модуль:. Во втором случае,совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч. Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к правила квадратных уравнений этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом. Правила квадратных уравнений квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна правила квадратных уравнений Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулюто корнями такого уравнения являются и отношение свободного члена к старшему коэффициенту. Прежде всего заметим, что из равенства следует, что Установим количество корней: При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентова значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что еслито уравнение имеет два корня, если жето только один. Найдём эти корни: что и требовалось доказать. В частности, еслито уравнение имеет только один правила квадратных уравнений, которым правила квадратных уравнений число. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: - верное равенство, следовательно, единица - корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту -ч. Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения правила квадратных уравнений посмотреть, не равна ли нулю эта сумма. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители Если трёхчлен вида удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителейто можно найти корни уравнения — ими будут идействительно, ведьа решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Отметим, что квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни. Рассмотрим некоторые частные случаи. Использование формулы квадрата суммы разности Если квадратный трёхчлен имеет видто применив к нему названную формулу, мы сможем разложить его на линейные множители и, значит, найти корни: Выделение полного квадрата суммы разности Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы разности ». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее: прибавляют и отнимают одно и то же число. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта. Использование прямой и обратной теоремы Виета Прямая теорема Виета см. Согласно обратной теореме, всякая пара чисел числобудучи решением нижеприведенной системы уравнений, являются корнями уравнения : Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом: 1 если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения; 2 если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента. Метод «переброски» Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и. Допустим, мы желаем решить с использованием обратной теоремы Виета уравнение. Если мы попробуем разделить обе его части на 8, то получим приведённое уравнение с дробными коэффициентами, поэтому применить к нему теорему будет трудно. Однако, воспользовавшись методом переброски, мы сумеем получить приведённое с целыми коэффициентами:. Очевидно, что его корнями будут числа -4 и 2. Произведём обратную правила квадратных уравнений Геометрический смысл Графиком является. Решениями корнями квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке в вершине параболыуравнение имеет один вещественный правила квадратных уравнений также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня. Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня см. Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент положительный при положительномпри отрицательном наоборотто вершина параболы лежит в левой и наоборот. Графический способ решения квадратных уравнений Помимо универсального правила квадратных уравнений, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения. Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений. Способ I Для решения квадратного уравнения этим способом строится график функции и отыскивается абсциссы точек пересечения такого графика с осью. Способ II Для решения того же уравнения этим способом правила квадратных уравнений преобразуют к виду и строят в одной графики изатем находят абсциссу правила квадратных уравнений их пересечения. Способ III Решение этим методом подразумевает преобразование исходного уравнения к видуиспользуя метод выделения полного квадрата суммы разности и затем в. После этого строятся график функции им является график функциисмещённый на единиц масштаба в право или влево в зависимости от знака и правила квадратных уравненийпараллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Способ IV Квадратное уравнение преобразуют к видустроят график функции им является график функциисмещённый на единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз если он отрицателенинаходят абсциссы их общих точек. Способ V Квадратное уравнение преобразуют к особому виду: затем. Совершив преобразования, строят графики линейной функции иотыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот метод имеет границу применимости: еслито метод не используется. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Описанные выше методы графического решения имеют существенные недостатки: правила квадратных уравнений достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой. Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий. Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точкепересекающую ось y в точке C 0;1. Далее возможны три случая: длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S: в этом случае окружность пересекает ось x в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек; радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2; радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве нет. Рассматриваемый способ предполагает построение окружности, пересекающей ось ординат в точках точкеабсциссы которых являются корнями или корнем решаемого уравнения. Как нужно строить такую окружность? Предположим, что она уже построена. Пусть в случае, если корня два, это будут точкигдеестественно, действительные корни квадратного уравнения подчёркиваем: если они имеются. Найдём координаты центра такой окружности. Для этого докажем, что эта окружность проходит через точку. Действительно, согласнов принятых обозначениях выполняется равенство см рисунок. Преобразовывая это выражение, получаем величину отрезка OD, которой и определяется искомая ордината точки D: в последнем преобразовании использована теорема Виета см. В первом случаеопределяющими будут правила квадратных уравнений касания, точка оси y с ординатой 1, и её же точка с ординатой. Пускай S - центр окружности, имеющей с осью абсцисс две общие тоски. Найдём его координаты: для этого опустим от этой точки перпендикуляры к координатным осям. Найдём координаты середин названных отрезков. Так как парабола симметрична относительно прямойто точка этой прямой с такой же абсциссой будет являться серединой отрезка AB. Следовательно, абсцисса точки S равна этому числу. В случае же, если уравнение имеет один корень, то ось x является касательной по отношению к окружности,поэтому, согласно её свойству, её радиус перпендикулярен оси, следовательно, и в этом случае указанное число - абсцисса центра. Её ординату найдём так:. Итак, нами найдены необходимые для построения данные. Действительно, если мы построим окружность с центром в точкепроходящую через точкуто она, в случаях, когда уравнение имеет действительные корни, пересечёт ось x в точках, абсциссы которых есть эти корни. Причём, если длина радиуса больше длины перпендикуляра к оси Ox, то уравнение имеет два корня предположив обратное, мы бы получили противоречие с доказанным вышеесли длины равны, то один по той же причинеесли же длина радиуса меньше длины перпендикуляра, то окружность не правила квадратных уравнений общих точек с осью x, следовательно, и действительных корней у уравнения нет доказывается тоже от противного: если корни есть, то окружность, проходящая через A, B, C совпадает с данной, и поэтому пересекает ось, однако она не должна пересекать ось абсцисс по условию, значит, предположение неверно. Корни квадратного уравнения на множестве Уравнение с действительными коэффициентами Квадратное уравнение с коэффициентами имеет ровно два комплексныхо чём гласит. Правила квадратных уравнений этом, в зависимости от значениякак один, так и оба корня правила квадратных уравнений не иметь мнимой части и быть вещественными: при вещественных корней два, и они вычисляются по формуле при корень один о чём так же можно говорить как о двух равных или совпадающих корнях2: при вещественных действительных корней нет, однако существуют два корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать, выразив корень из отрицательного числа в виде произведения корня с : Уравнение с комплексными коэффициентами В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле 1 и указанным выше ее вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта один двукратный корень и ненулевого два простых корня. Корни приведённого правила квадратных уравнений уравнения Квадратное уравнение вида в котором старший коэффициент равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней 1 упрощается до Мнемонические правила: Из «»: «Минус» напишем сначала, Рядом с ним p пополам, «Плюс-минус» знак радикала, С детства знакомого нам. Ну, а под корнем, приятель, Сводится всё к пустяку: p пополам и в квадрате Минус прекрасное q. Из «» другой вариант : p, со знаком взяв обратным, На два мы его разделим, И от корня аккуратно Знаком «минус-плюс» отделим. А под корнем очень кстати Половина p в квадрате Минус q — и вот решенья, То есть корни уравненья. Теорема Основная статья: Формулировка Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна коэффициенту со знаком «минус», а произведение корней равно свободному члену В общем случае, то есть для не приведённого квадратного уравнения : Используя эту теорему, можно решать некоторые квадратные уравнения устно. Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле 2 Доказательство Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни и квадратного уравнения образуют соотношения с его коэффициентами:. Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:. В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов. Из формулы 2 имеются два важных следствия: Следствие 1 Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет корни, принадлежащие тому числовому множеству. Тогда, переписав это разложение, получим:. Сопоставив полученное выражение с формулой 2находим, что корнями такого трёхчлена являются и. Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные правила квадратных уравнений отношениям также являются элементами множества. Следствие 2 Если квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами. Доказательство Действительно, если мы что такой трёхчлен раскладывается на линейные множителито, согласно следствию 1, он имеет корни в множествечто противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители. Уравнения, сводящиеся к квадратным Алгебраические Уравнение вида является уравнением, сводящимся к квадратному. В общем случае оно решается заменой c последующим решением квадратного уравнения. Также при решении можно обойтись правила квадратных уравнений замены, решив совокупность двух уравнений: и Еслито уравнение принимает вид: Такое уравнение называется биквадратным. С помощью замены к правила квадратных уравнений уравнению сводится уравнение известное как или обобщённо-симметрическое уравнение. Дифференциальные второго порядка подстановкой сводится к квадратному уравнению: Если решения этого уравнения и не равны друг другу, то общее решение имеет вид:где и — произвольные постоянные. Для комплексных корней можно переписать общее решение, правила квадратных уравнений : Если решения характеристического уравнения совпадаютобщее решение записывается в виде: Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в или теории цепей. Ссылки в Викиучебнике правила квадратных уравнений Викискладе Weisstein, Eric Последнее изменение этой страницы: 09:23, 19 декабря 2015. Текст доступен по ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации.



COPYRIGHT © 2010-2016 poehalivtur.ru